べき乗則の話について

最近,「歴史は「べき乗則」で動く」という本を読んだ.amazonのURI

この本では,世の中の多くの減少における確率分布がべき乗則に従っており,その背景にはフラクタル構造のような再帰的な枠組みが隠されているのだということを終始語っている.これはべき乗則がスケールに対する普遍性を持っており,その背後にフラクタルのようないくら拡大縮小しても構造が変わらないものが存在していると仮定するとうまく説明可能であることに由来している.

本書では,地震の規模と発生頻度,株価の変動,その他生物の絶滅などに至る多くの事柄がべき乗則に従っていることを述べている.本書で取り扱われる議論をそのまま適用すれば,これらの現象を支配する要因にはフラクタル構造が隠れており,それゆえ大地震が発生した理由や,株価が大暴落することには特別な意味があるわけではないことになる.したがって,なぜ人がこれらの現象が起きるのか説明(予測)できないのかといえば,そもそも予測すること自体が不可能な事柄であるからという結論になるのである.

この話は一見,非常に的を得た説明のように感じられる.しかし,本書の最後にある訳者のコメントには,このべき乗則による説明は不十分であるという見解が述べられている.理由としては簡単で,たとえ現象の発生確率がべき乗則ではなく,正規分布に従っている場合でも,平均から大きくハズレた現象が発生することを予想することは困難であるからである.これも確かに正しいように感じられる.

さて,ではどちらの意見のほうが正しいのだろうか.この話を考える際には,おそらく次の2つのことに注意しなければならない.それはある分布からサンプリングすると必ずその分布にそったランダムな値が得られてるということ.またそのことと,予想可能であるかどうかは特に関連がないことである.すなわち,ある現象の発生確率がある分布に従っているとするとき,その情報だけでは,ある瞬間にその現象が起きる可能性は確率的にしか評価できない.したがって,その事実だけではどれほどの大きさで対象となる現象が発生するのか予測することは困難となる.しかし,この予測可能性は,分布のサンプリングだけに着目するのではなく,分布の形に着目すれば,その可否がわかるというのが本書の主題だろう.例えば,正規分布に従っている現象を対象とすれば,正規分布はスケールに対する普遍性を持たないのだから,平均に近い部分に対応する現象と,平均から外れた部分に対応する現象とでは,その発生原因は大きく異なるだろうという予想がたつ.しかし,べき乗則のような分布に従っていた場合には,スケール普遍性により,正規分布に当たるような特定の発生原因(すなわち予兆)を見つけることが困難なので,極端な事象(大地震など)を予想することができないというのが,本書の著者が言いたいことだったのではないだろうか.

しかし,このような説明もあまりに感覚に訴えかけすぎていて,その妥当性がそこまで納得できるものになっていない.結局の所どういうふうに考えればよいのだろうか(誰か教えてください).

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